半導體的物理原理
半導體的導電特性介於金屬和絕緣體之間。兩個觀念可以說明三種物質的差別－能帶理論（energy band theory）以及Fermi能階（Fermi energy level）。
能帶理論：價帶與傳導帶
在單一原子中，依照包立不相容原理由低到高能階排列，最外圍能階的電子被稱為價電子（valence electron）。而溫度不等於零的情況下，這些價電子有機會因環境熱輻射光子的影響，躍遷至更高的能階而離開原子的控制，成為自由電子（free electron）。
當有很多原子排列在一起，形成固態晶格時，原子彼此之間的能階會相互影響，我們有的便不是單一個外圍能階，而是一群量值相近的能階，此即晶格的價帶（valence band）。同理，晶格中自由電子能佔據的能階也會是量質相近的能帶，此即晶格的傳導帶（conduction band）；只有在傳導帶上的自由電子，才能產生巨觀尺度的電流。
一個對能帶理論更全面的理解，必須考慮晶格中原子對電子的位能為週期性函數的事實，並使用Bloch理論（Bloch’s theorem）求出能帶分布。
Fermi能階、純質半導體
在熱力學中，Fermi能階的定義為平衡狀態時，將單位電子移入系統中，所需給予的能量；在固態物理中，這個能階上任何時刻電子佔據某個狀態的機率為\(50 \%\)。
在金屬中，Fermi能階必定在傳導帶內。這代表金屬中總是有一定數量的電子在自由電子海中，也因此金屬有導電性。
另一方面，絕緣體的傳導帶遠高於Fermi能階，因此電子幾乎不可能跑到傳導帶上。而半導體則介於兩者之間；其Fermi能階介於價帶與傳導帶之間，而價帶與傳導帶的能階差夠小，使一部分的電子在有機會從價帶移往傳導帶。
我們在 自由電子海的能量分布與Fermi能階 中，有推導自由電子海中Fermi能階和系統電子數密度的關係。不過，該推導只考慮存在於傳導帶中的電子，比較接近金屬內的情況。當Fermi能階\(\varepsilon_F\)小於傳導帶的最小能階\(\varepsilon_C\)時，則只有在傳導帶上的電子符合自由電子海的假設；在那篇文章中Fermi能階和自由電子海中的電子數密度的關聯，不再存在（因為當溫度為零時，所有的電子都只會佔據在價帶中）。
此時直接積分各個能階的狀態總數和電子在這些狀態出現的機率的乘積，可求出傳導帶上具有的電子數密度為
$$ \bar{N}_e= -2 \left( \frac{2 \pi m^*_e k_B T}{h^2} \right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{Li}_{\frac{3}{2}} \left(- e^{\frac{\varepsilon_F - \varepsilon_C}{k_B T}} \right) $$另一方面，我們也可以用類似的作法，求出價帶上具有的電洞數密度：
$$ \bar{N}_p= -2 \left( \frac{2 \pi m^*_p k_B T}{h^2} \right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{Li}_{\frac{3}{2}} \left(- e^{\frac{\varepsilon_V - \varepsilon_F}{k_B T}} \right) $$這其中\(m^*_p\)為電洞的等效質量、\(\varepsilon_V\)則為價帶的最大能階。
補充說明：等效質量的物理意義與求法
真空中，自由電子受電場影響，其加速度可表示成
$$ a_{ext} = -\frac{e}{m_e} E $$這裡\(m_e\)為自由電子實際的質量。
另一方面，在物質中施以電場移動自由電子時，自由電子除了受到該電場影響，周圍的原子荷、電洞、其他自由電子等帶電粒子也會施予電場給該自由電子，因此其加速度有所不同。若定義
$$ m^*_{e}= m_e \frac{a - a_{int}}{a} $$則
$$ a = -\frac{e}{m^*_e} E $$因此等效質量會使我們方便計算物質中自由電子的加速度和施予電場的關係。從以上推導中也可以看出，當晶格在不同方向的結構不同時，可能會有不同的等效質量，需要個別考慮。
由於自由電子的動能可以表示成\(\frac{|\vec{p}|^2}{2 m^*_e} = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m^*_e}\)，實務中等效質量會利用E-k關係求出：
$$ m^*_e = \hbar^2 \left( \frac{d^2 E}{d k^2} \right)^{-1} $$補充說明：半導體傳導帶上電子數密度積分詳細推導
半導體傳導帶上電子數密度，為各個能階狀態總數\(g(\varepsilon)\)以及這些狀態出現電子的機率\(f(\varepsilon)\)的乘積的積分。由自由電子海的能量分布與Fermi能階的推導可知\(f(\varepsilon)\)符合一Fermi-Dirac分佈：
$$f(\varepsilon) = \frac{1}{\exp \left(\frac{\varepsilon - \varepsilon_F}{k_B T} \right) + 1} $$這裡的\(\varepsilon_F\)為Fermi能階。
另一方面，假設半導體傳導帶上電子處在自由電子海中，且其動能和動量有底下簡單的關係：
$$ \varepsilon - \varepsilon_C = \frac{|\vec{p}|^2}{2 m^*_e} $$這裡的\(\varepsilon_C\)為傳導帶上的最小能階。
此時，極小能階差\(d\varepsilon\)所具有的狀態總數可寫成
$$ g(\varepsilon) d\varepsilon = g_{e} \frac{4 \pi p^2}{h^3} dp $$這裡的\(g_e\)為每個狀態能具有的電子總數。由於每個狀態可以容納自旋數正負號相異的電子，\(g_e = 2\)。
將\(p = \sqrt{2 m^*_e (\varepsilon - \varepsilon_C) }\)代入，上式可化簡成
$$ g(\varepsilon) = 2 \cdot \frac{4 \pi}{h^3} \cdot 2 m^*_e (\varepsilon - \varepsilon_C) \cdot \frac{dp}{d\varepsilon} $$$$ = 4 \pi \left( \frac{2 m^*_e}{h^2} \right)^{\frac{3}{2}} \sqrt{ \varepsilon - \varepsilon_C } $$現在，讓我們對傳導帶上的所有能階的\(g(\varepsilon)f(\varepsilon)\)做積分。
$$ \int^{\infty}_{\varepsilon_C} g(\varepsilon)f(\varepsilon) d\varepsilon = \int^{\infty}_{\varepsilon_C} \frac{ g(\varepsilon) d\varepsilon}{ e^{\frac{\varepsilon - \varepsilon_C}{k_B T}} e^{\frac{\varepsilon_C - \varepsilon_F}{k_B T}} + 1} = 4 \pi \left( \frac{2 m^*_e}{h^2} \right)^{\frac{3}{2}} \int^{\infty}_{0} \frac{\varepsilon^{\frac{1}{2}} d\varepsilon}{e^{\frac{\varepsilon}{k_B T}} e^{\frac{\varepsilon_C - \varepsilon_F}{k_B T}} + 1} $$$$ = 4 \pi \left( \frac{2 m^*_e k_B T}{h^2} \right)^{\frac{3}{2}} \int^{\infty}_{0} \frac{u^{\frac{1}{2}} du}{e^{u} e^{\frac{\varepsilon_C - \varepsilon_F}{k_B T}} + 1} $$$$ = 4 \pi \left( \frac{2 m^*_e k_B T}{h^2} \right)^{\frac{3}{2}} \int^{\infty}_{0} u^{\frac{1}{2}} e^{-u} e^{-\frac{\varepsilon_C - \varepsilon_F}{k_B T}} \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^n e^{-nu} e^{-n\frac{\varepsilon_C - \varepsilon_F}{k_B T}} du $$$$ = 4 \pi \left( \frac{2 m^*_e k_B T}{h^2} \right)^{\frac{3}{2}} \int^{\infty}_{0} u^{\frac{1}{2}} \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^{n - 1} e^{-nu} e^{-n\frac{\varepsilon_C - \varepsilon_F}{k_B T}} du $$$$ = 4 \pi \left( \frac{2 m^*_e k_B T}{h^2} \right)^{\frac{3}{2}} \Gamma\left( \frac{3}{2} \right) \left( -\mathrm{Li}_{\frac{3}{2}} \left(-e^{ -\frac{\varepsilon_C - \varepsilon_F}{k_B T} } \right) \right) $$其中\(\mathrm{Li}_{\cdot}(\cdot)\)為Polylogarithm函數，\(\Gamma(\cdot)\)為Gamma函數。代入Gamma函數的特定數值，可得到前面所給出的電子數密度\(\bar{N}_e\)。
完全由矽晶構成的純質半導體（intrinsic semi-conductor）中\(\bar{N}_e = \bar{N}_p\)，因此有
$$ {m^*_e}^{\frac{3}{2}} \mathrm{Li}_{\frac{3}{2}} \left(- e^{\frac{\varepsilon_F - \varepsilon_C}{k_B T}} \right) = {m^*_p}^{\frac{3}{2}} \mathrm{Li}_{\frac{3}{2}} \left(- e^{\frac{\varepsilon_V - \varepsilon_F}{k_B T}} \right) $$當價帶與傳導帶的能階差足夠（通常會以\(\varepsilon_C\)和\(\varepsilon_V\)對\(\varepsilon_F\)的距離是否皆超過\(3k_BT\)為判斷標準）時，可假設上式的高次項可忽略不計，因此我們便有底下的關係式
$$ \varepsilon_F = \varepsilon_V + \frac{\varepsilon_C - \varepsilon_V}{2} + \frac{3}{4} k_B T \ln \left( \frac{m^*_p}{m^*_e} \right) = \varepsilon_V +\frac{\varepsilon_g}{2} + \frac{3}{4} k_B T \ln \left( \frac{m^*_p}{m^*_e} \right) $$這裡我們定義\(\varepsilon_g\)為價帶和傳導帶的能階差（energy band gap）。如此一來我們便可以定義純質半導體的單位帶電粒子幾何平均數\(\bar{N}_i\)
$$ \bar{N}_i= \sqrt{\bar{N}_e \bar{N}_p} \approx 2 \left( \frac{2 \pi \sqrt{m^*_e m^*_p} k_B T}{h^2} \right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{\varepsilon_g}{2 k_B T}} $$雜質半導體
如果在矽晶中參雜其他物質，形成雜質半導體（extrinsic semi-conductor），則價帶與傳導帶的能階分布相對於費米能階，會有等量的平移。這不會影響\(\varepsilon_g\)，因此\(\bar{N}_i\)的值不變。此即Mass action law。
雜質半導體有兩種：P型半導體會加入硼、鋁、鎵、銦等外圍電子數有3個電子的原子，在價帶中提供額外電洞，使得半導體中\(\bar{N}_p \approx \bar{N}_a \gg \bar{N}_e\)（\(\bar{N}_a\)為接受電子的雜質濃度）；另一方面，N型半導體則會加入磷、砷、銻等外圍電子數有5個電子的原子，在傳導帶中提供額外自由電子，使得半導體中\(\bar{N}_e \approx \bar{N}_d \gg \bar{N}_p\)（\(\bar{N}_d\)為提供電子的雜質濃度）。注意因為半島性處於電中性狀態，底下關係式恆成立：\(\bar{N}_p + \bar{N}_d - \bar{N}_e - \bar{N}_a = 0\)。
如果將\(\varepsilon_C\)與\(\varepsilon_V\)視為定值，則可說P型半導體將費米能階降低了（因此價帶中得以產生更多電洞）、而N型半導體則將費米能階增加了（因此傳導帶中得以產生更多自由電子）。
半導體二極體電壓－電流關係推導
無外加電壓平衡狀態推導
當一N型半導體和一P型半導體相接，形成一P-N接面（p–n junction），則N型半導體的自由電子會有往P型半導體擴散的傾向，反之P型半導體的電洞亦有往N型半導體擴散的傾向；此為半導體二極體的擴散電流（diffusion current）。這會造成P-N接面處，N型半導體端帶有正電、P型半導體帶有負電，因而對產生一電場。此電場則會使自由電子有往N型半導體漂移之傾向、電洞往P型半導體漂移之傾向；此為半導體二極體的漂移電流（drift current）。
由於半導體二極體的擴散電流與漂移電流方向恰相反，平衡時兩種效應應洽抵銷：此時在P-N接面附近會產生一空乏層（Depletion zone）：空乏層中N型半導體原有的自由電子掉入電洞當中，而P型半導體原有的電洞則被自由電子填滿，可移動的帶電載體（charge carrier）趨於零，因而得名。
我們假設空乏層中N型半導體帶均勻正電\(e\bar{N}_d\)、P型半導體則帶均勻負電\(-e\bar{N}_a\)；再將N型半導體的空乏層寬度計為\(W_n\)、再將P型半導體的空乏層寬度計為\(W_p\)。由於半導體二極體為電中性，我們有底下的關係式：
$$ \bar{N}_d W_n = \bar{N}_a W_p $$以P-N接面處為原點，利用高斯通量定理（Gauss’s flux theorem）考慮區間\((-\infty, x]\)內所含有的電荷，我們便有電場函數的微分式：\(\frac{d E(x)}{dx} = \frac{q_{net}(x)}{\varepsilon_{EM}}\)；解之可得
$$ E(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} E_0 - \frac{e \bar{N}_a}{\varepsilon_{EM}} x &,& -W_p \leq x \leq 0 \\ E_0 + \frac{e \bar{N}_d}{\varepsilon_{EM}} &,& 0 \leq x \leq W_n \\ 0 &,& otherwise \end{array} \right. $$其中\(E_0 = -\frac{e \bar{N}_d W_n}{\varepsilon_{EM}} = -\frac{e \bar{N}_a W_p}{\varepsilon_{EM}}\)。
另一方面，電位能函數的微分式為\(\frac{d V(x)}{d x} = -E(x)\)，帶入邊界條件\(V(-\infty) = 0\)解開後可得
$$ V(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 &,& x \leq -W_p \\ \\ \frac{e \bar{N}_a}{2 \varepsilon_{EM}} (x + W_p)^2 &,& -W_p \leq x \leq 0 \\ \\ \frac{e (\bar{N}_a + \bar{N}_d) W_n W_p}{2 \varepsilon_{EM}} - \frac{e \bar{N}_d}{2\varepsilon_{EM}}(x - W_n)^2 &,& 0 \leq x \leq W_n \\ \\ \frac{e (\bar{N}_a + \bar{N}_d) W_n W_p}{2 \varepsilon_{EM}} &,& x \geq W_n \end{array} \right. $$如果我們定義\(W_0 = W_p + W_n\)，並定義\(V_0 = V(\infty)\)，則
$$ V_0 = -\frac{1}{2} E_0 W_0 = \frac{e \bar{N}_a \bar{N}_d {W_0}^2}{2 \varepsilon_{EM} (\bar{N}_a + \bar{N}_d)} $$
無外加電壓下上述半導體二極體的電荷、電場與電壓分布。
如此一來，在平衡狀態下自由電子或電洞的分布應該要近似於波茲曼分布，所以
$$ \left\{ \begin{array}{c} n_{p0} / n_{n0} = \exp \left(-\frac{e V_0}{k_B T} \right) \\ \\ p_{n0} / p_{p0} = \exp \left(-\frac{e V_0}{k_B T} \right) \end{array} \right. $$其中$n_{p0}$代表帶負電之帶電載體在P型半導體端空乏層邊界上的濃度，其他下標可依此類推。我們因此可知
$$ V_0 = \frac{k_B T}{e} \ln \left( \frac{n_{n0}}{n_{p0}} \right) = \frac{k_B T}{e} \ln \left( \frac{p_{p0}}{p_{n0}} \right) = \frac{k_B T}{e} \ln \left( \frac{\bar{N}_a \bar{N}_d}{{\bar{N}_i}^2} \right) $$擴散主導的電壓－電流關係
現在，我們對此半導體二極體施予一正向電壓差（forward bias voltage）。由於此一電場方向和空乏層電場方向相反，空乏層的電動勢強度減弱；這會使空乏區最外側的帶電載體得以跨越電動勢的障礙，產生擴散電流，並因而造成空乏層厚度減少。
外加正向電壓差下上述半導體二極體的電荷、電場與電壓分布（點狀虛線）。實線為無外加電壓之比較值。
參考上圖，施加一電壓\(V\)以後，空乏區造成的電壓差減弱量為\(V_0 - V\)，因此相較於無外界電壓的情況，空乏層邊界上帶電載體濃度的變化量為
$$ \left\{ \begin{array}{c} \Delta n_{p0} = n_{n0} \left( \exp \left(-\frac{e (V_0 - V)}{k_B T} \right) - \exp \left(-\frac{e V_0}{k_B T} \right) \right) = n_{p0} \left( \exp \left(\frac{e V}{k_B T} \right) - 1 \right) \\ \\ \Delta p_{n0} = p_{p0} \left( \exp \left(-\frac{e (V_0 - V)}{k_B T} \right) - \exp \left(-\frac{e V_0}{k_B T} \right) \right) = p_{n0} \left( \exp \left(\frac{e V}{k_B T} \right) - 1 \right) \end{array} \right. $$我們接著來看當自由電子進入P型半導體飽和層、電洞進入N型半導體飽和層後，其濃度如何變化。
首先，過剩自由電子\(\Delta n_p\)在P型半導體飽和層飽和層內移動時，須滿足質量守恆方程式
$$ \frac{D \Delta n_p}{Dt} = \frac{\partial \Delta n_p}{\partial t} + D_e \frac{\partial^2 \Delta n_p}{\partial x^2} $$假設半導體二極體處在穩定狀態（各點對時偏微為零）、\(D_e\)為自由電子在P型半導體的擴散係數，而過剩自由電子\(\Delta n_p\)在P型半導體飽和層飽和層內移動，減少速度滿足指數消散律（exponential decay），其平均存活壽命為\(\tau_e\)。則可導出下列二階微分方程
$$ \frac{d^2 \Delta n_p}{d x^2} = \frac{\Delta n_p}{\tau_e D_e} = \frac{\Delta n_p}{{L_e}^2} $$其中\(L_e\)為自由電子在P型半導體的平均滯留長度。代入x軸負向無限遠處和原點的邊界條件，解上述微分方程可得
$$ \Delta n_p = \Delta n_{p0} e^{\frac{x_e}{L_e}} $$這裡\(x_e\)為自由電子從空乏層P型半導體邊界算起的位移1。而自由電子在空乏層邊界造成的擴散電流可表示成
$$ \left. J_n \right|_{x_e = 0} = e D_e \frac{\partial \Delta n_p}{\partial x} = \frac{e D_e n_{p0}}{L_e} \left( \exp \left(\frac{e V}{k_B T} \right) - 1 \right) = \frac{e D_e {\bar{N}_i}^2}{L_e \bar{N}_a} \left( \exp \left(\frac{e V}{k_B T} \right) - 1 \right) $$同理
$$ \left. J_p \right|_{x_p = 0} = \frac{e D_p {\bar{N}_i}^2}{L_p \bar{N}_d} \left( \exp \left(\frac{e V}{k_B T} \right) - 1 \right) $$將兩者相加，即為半導體二極體單位截面積的電流隨外加電壓的關係：
$$ J = e{\bar{N}_i}^2\left( \frac{D_e }{L_e \bar{N}_a} + \frac{D_p}{L_p \bar{N}_d} \right) \left( \exp \left(\frac{e V}{k_B T} \right) - 1 \right) $$如果定義
$$ J_0 = e{\bar{N}_i}^2\left( \frac{D_e }{L_e \bar{N}_a} + \frac{D_p}{L_p \bar{N}_d} \right) $$則原式可改寫成
$$ J = J_0 \left( \exp \left(\frac{e V}{k_B T} \right) - 1 \right) $$由於上式中，當給予趨近無限大的負向電壓差（reverse bias voltage），半導體二極體的電流會趨近\(-J_0\)，因此\(J_0\)又被稱為逆飽和電流（reverse saturation current）。實際上當負向電壓差量值超過崩潰電壓（breakdown voltage）時，二極體會變成導體，前述的公式不複有效。
半導體二極體的電壓－電流關係示意圖，取自維基百科。
再結合主導的電壓－電流關係
再結合（recombination）係指半導體中較高能階的電子回復到低能階狀態，使原有的自由電子或電洞消失。
當半導體二極體被施予一正向電壓差時，如果自由電子或電洞帶電載體在穿越空乏層的時候，再結合的效應明顯，則幾乎沒有帶電載體可以穿越空乏層是比較合理的假設。
再結合主導的半導體二極體中，帶電載體濃度變化示意圖。
此時在P-N接面上，電壓為\(\frac{V_0 - V}{2}\)；參考前一節的推導方式，我們可以得到相較於無外界電壓的情況下，P-N接面處帶電載體濃度的變化量為
$$ \left\{ \begin{array}{c} \Delta n_{M} = n_{M0} \left( \exp \left(\frac{e V}{2 k_B T} \right) - 1 \right) \\ \\ \Delta p_{M} = p_{M0} \left( \exp \left(\frac{e V}{2 k_B T} \right) - 1 \right) \end{array} \right. $$如果假設P-N接面處自由電子和電洞濃度相同，則我們有
$$ n_{M0} = p_{M0} = \bar{N}_i $$$$ \Delta n_{M} = \Delta p_M = \bar{N}_i \left( \exp \left(\frac{e V}{2 k_B T} \right) - 1 \right) $$此時自由電子在P-N接面處造成的擴散電流，經過尺度分析（scale analysis）可表示成
$$ \left. J_e \right|_M = -e D_e \frac{\partial \Delta n}{\partial x} \approx - \Delta x \frac{D \Delta n}{D t} \approx \frac{\frac{1}{2}e W_p \Delta n_M}{\tau_e} = \frac{e W_p }{2 \tau_e} \bar{N}_i \left( \exp \left(\frac{e V}{2 k_B T} \right) - 1 \right) $$這裡假設在空乏層自由電子的濃度往P型半導體的方向線性遞減（所以空乏層P型半導體端總共具有的額外自由電子濃度為\(\frac{1}{2} e W_p \Delta n_M\)）。同理可求出電洞在P-N接面處造成的擴散電流為
$$ \left. J_p \right|_M = \frac{e W_n }{2 \tau_p} \bar{N}_i \left( \exp \left(\frac{e V}{2 k_B T} \right) - 1 \right) $$因此再結合主導的半導體二極體單位截面積的電流隨外加電壓的關係為
$$ J = \frac{e{\bar{N}_i}}{2} \left( \frac{W_p }{\tau_e} + \frac{W_n }{\tau_p} \right) \left( \exp \left(\frac{e V}{2 k_B T} \right) - 1 \right) $$如果定義
$$ J_0 = \frac{e{\bar{N}_i}}{2} \left( \frac{W_p }{\tau_e} + \frac{W_n }{\tau_p} \right) $$則原式可改寫成
$$ J = J_0 \left( \exp \left(\frac{e V}{2 k_B T} \right) - 1 \right) $$半導體二極體逆飽和電流推導
逆飽和電流除了前一節的方式推導以外，還可由下列方式推導出。
此方式乃分析逆飽和電流的物理成因：逆飽和電流的存在，係半導體二極體在特定溫度下具有的熱輻射，將部分較低能階的電子刺激成自由電子和相對應的電洞；而其受空乏層電場影響，此過程會產生和前一節描述的擴散電流方向相反的電流（這個原理其實和太陽能板的光電流類似）。
因此，假設半導體二極體將所有能量大於能階差\(\varepsilon_G\)的入射熱輻射都有效吸收，則根據黑體單位表面積光能功率和光子通量的關係式，可以求出半導體二極體單位截面積上的逆飽和電流為
$$ J_{0} = \frac{30 \zeta(3) q \sigma T^3}{\pi^4 k_B} \int^{\infty}_{\varepsilon_G} f_n(\varepsilon, T) d\varepsilon $$這裡的\(q\)為單一電子帶電量、\(f_n(\varepsilon, T)\)則為黑體輻射中特定能量的光子數機率密度函數。由 黑體輻射相關定律與太陽常數推導 一頁中我們知道
$$ f_n(\varepsilon,T) = \frac{1}{2 \zeta(3) (k_B T)^3} \frac{\varepsilon^2}{\exp\left(\frac{\varepsilon}{k_B T} \right) - 1} $$利用變數變換\(u = \frac{\varepsilon}{k_B T}\)，可求出此式之積分為
$$ \int^{\infty}_{\varepsilon_G} f_n(\varepsilon, T) d\varepsilon = \frac{1}{2 \zeta(3)} \int^{\infty}_{\frac{\varepsilon_G}{k_B T}} \frac{u^2 du}{e^u - 1} = \frac{1}{2} \mathrm{Li}_{3}\left( \frac{\varepsilon_G}{k_B T},1 \right) $$其中\(\mathrm{Li}_{\cdot}(\cdot, \cdot)\)為不完全polylogarithm函數（Incomplete polylogarithm）。由此可知
$$ J_0 = \frac{15 \zeta(3) q \sigma T^3}{\pi^4 k_B} \mathrm{Li}_{3}\left( \frac{\varepsilon_G}{k_B T},1 \right) $$這個式子比第一種方式求出的結果，涉及的物理參數較少（僅需知道溫度和半導體的能階差），然而實際使用時，需要考慮擴散電流或外界輻射的光電流產生的自由電子／電洞在半導體內再結合速率等較複雜的參數對量子效率（quantum efficiency）的影響。
當自由電子在P型半導體端、或者電洞在N型半導體端發生再結合時，降到較低能階的電子會釋出光能，這會讓半導體二極體內的熱輻射量增加，連帶增加半導體二極體逆飽和電流的量值。由此可知，半導體內部的熱輻射顯然並非黑體輻射，上述推導僅能做為再結合效應較小時的近似；若要較精確的計算逆飽和電流，仍需要使用細節平衡法（detailed balance）分析。
半導體的實際應用
- 太陽電能板
- 電晶體
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在這個例子中，由於自由電子的擴散方向是負向，因此這裡的位移是負的。 ↩︎