暫態三相對稱交流電模型
一節點每個相位的電壓能用兩個自由度描述1，因此三相電力系統中每個節點一般來說需要六個自由度方能描述。然而三相平衡系統中，已知三個相位的電壓量值大小相等、相位角則各差120度。因此三項平衡的系統每個節點僅需要兩個自由度即可充分描述。
補充說明：三相對稱與三項平衡的差別
在本文中，「三相對稱」指三個相位的物理參數（阻抗、最大可承受電流等）皆相同的交流電網，是對於系統物理特性的描述。「三相平衡」則是指三個相位的電壓、電流在任何時刻皆互相抵銷的三相對稱交流電網。一個三相對稱且三相平衡的交流電網，由於三個相位壓流互相抵銷的特性，分析時可以等價的單相電路建模，處理較為容易。
值得注意的是，三相對稱、三相平衡兩個概念和穩態或暫態沒有必然關係。三相平衡的交流電路可以處於暫態，三相不對稱的交流電路也可以達到穩定態。當然，三個概念仍然有一些比較常見的排列組合，列舉如下：
- 三相平衡且穩態：理想運轉下的交流電路，一般分析電力潮流時的假設。
- 三相平衡但暫態：輸電網正常運轉最為接近的情況。因為電力供給和需求有隨機變動的特性，電網頻率和電壓無時無刻都會些許偏離穩定態數值。然而當電網上的元件皆正常運作時，電網處於（接近）三相平衡的狀態。
- 三相不平衡但穩態：一般低壓用戶的插座只會接上單相電源，因此住宅用電三個相位的負載往往不同。這個狀況長期下來可能造成個別相位的線路耗損較快，此時住家的電力系統就會變成三相不對稱的交流電系統。
- 三相不對稱且暫態：電網中，單一相位的電線因某些原因故障或接地短路時的情況。
當系統處於穩定態的時候，電壓量值和相位角，或者等價地將電壓利用複數表示，便是最常見的作法。然而當系統處於暫態時，其他模型能更有效地模擬電力系統，其中dq0變換是較為常見的。
dq0變換
dq0變換，三相電壓會從底下矩陣中做變換
$$ \begin{equation} T_{\theta} = \frac{2}{3} \left[ \begin{array}{ccc} \cos(\theta) & \cos\left( \theta - \frac{2 \pi}{3} \right) & \cos\left( \theta + \frac{2 \pi}{3} \right) \\ -\sin(\theta) & -\sin\left( \theta - \frac{2 \pi}{3} \right) & -\sin\left( \theta + \frac{2 \pi}{3} \right) \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right] \end{equation} $$而將dq0座標系還原的逆變換矩陣則為
$$ \begin{equation} T^{-1}_{\theta} = \left[ \begin{array}{ccc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 1 \\ \cos\left( \theta - \frac{2 \pi}{3} \right) & -\sin\left( \theta - \frac{2 \pi}{3} \right) & 1 \\ \cos\left( \theta + \frac{2 \pi}{3} \right) & -\sin\left( \theta + \frac{2 \pi}{3} \right) & 1 \end{array} \right] \end{equation} $$這代表dq0轉換矩陣的每行具有正交性。比方說
$$ \begin{equation} \vec{c}_1^{\mathrm T} \vec{c}_2 = -\sum^{1}_{n = -1} \cos\left( \theta + \frac{2 \pi n}{3} \right) \sin\left( \theta + \frac{2 \pi n}{3} \right) = \frac{-1}{2} \sum^{1}_{n = -1} \sin\left( 2\theta + \frac{4 \pi n}{3} \right) = 0 \end{equation} $$這個變換和轉動剛體的座標轉換有許多類似之處，可互相參考2；兩者主要的差別在於dq0變換的變換矩陣和其轉置矩陣兩者僅有正交性、但沒有normalized。當然如果一開始改變 \( T_{\theta} \) 前面的係數和其第三列，是可以將其定義成一orthonormal矩陣的3。
由於三相對稱的電壓可寫成交流電和直流電的疊加：
$$ \begin{align} v_a &= A\cos(\omega_s t + \theta_0) + B \\ v_b &= A\cos\left(\omega_s t + \theta_0 - \frac{2 \pi}{3} \right) + B \\ v_c &= A\cos\left(\omega_s t + \theta_0 + \frac{2 \pi}{3} \right) + B \end{align} $$其中A為交流電振幅、B為直流電壓量值。如果經過dq0變換，並取\(\theta = \omega_s t + \theta_0\)4，可以得到
$$ \begin{align} v_d &= A \\ v_q &= 0 \\ v_0 &= B \end{align} $$又三相平衡的交流電沒有直流電項（\(B=0\)），因此經過dq0變換後三相平衡之交流電僅會剩下d軸座標有數值。
dq0變換下的RLC電線
一三相交流RLC電線可寫成如下的常微分線性系統：
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} \Delta v_a \\ \Delta v_b \\ \Delta v_c \end{array} \right\} = L\frac{d}{dt} \left\{ \begin{array}{c} i_a \\ i_b \\ i_c \end{array} \right\} + R \left\{ \begin{array}{c} i_a \\ i_b \\ i_c \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} v_{C,\:a} \\ v_{C,\:b} \\ v_{C,\:c} \end{array} \right\} \end{equation} $$$$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} i_a \\ i_b \\ i_c \end{array} \right\} = C \frac{d}{dt} \left\{ \begin{array}{c} v_{C,\:a} \\ v_{C,\:b} \\ v_{C,\:c} \end{array} \right\} \end{equation} $$我們可以觀察到
$$ \begin{equation} \frac{d}{dt} T^{-1}_{\theta} = \dot\theta \left[ \begin{array}{ccc} -\sin(\theta) & -\cos(\theta) & 0 \\ -\sin\left( \theta - \frac{2 \pi}{3} \right) & -\cos\left( \theta - \frac{2 \pi}{3} \right) & 0 \\ -\sin\left( \theta + \frac{2 \pi}{3} \right) & -\cos\left( \theta + \frac{2 \pi}{3} \right) & 0 \end{array} \right] = -T^{-1}_{\theta} \Omega \end{equation} $$$$ \begin{equation} \Omega = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & \dot\theta & 0 \\ -\dot\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \end{equation} $$因此
$$ \begin{align} T^{-1}_{\theta} \{ \Delta v \}_{dq0} &= L T^{-1}_{\theta} \{ \dot i \}_{dq0} - L T^{-1}_{\theta} \Omega \{ i \}_{dq0} + R T^{-1}_{\theta} \{ i \}_{dq0} + T^{-1}_{\theta} \{ v_C \}_{dq0} \\ T^{-1}_{\theta} \{ i \}_{dq0} &= C T^{-1}_{\theta} \{ \dot v_C \}_{dq0} + C T^{-1}_{\theta} \Omega \{ v_C \}_{dq0} \end{align} $$化簡後可得
$$ \begin{equation} \frac{d}{dt} \left\{ \begin{array}{c} i \\ v_C \end{array} \right\}_{dq0} = \left[ \begin{array}{cc} \Omega - T_{\theta} L^{-1} R T^{-1}_{\theta} & T_{\theta} L^{-1} T^{-1}_{\theta} \\ T_{\theta} C^{-1} T^{-1}_{\theta} & \Omega \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} i \\ v_C \end{array} \right\}_{dq0} + \left\{ \begin{array}{c} T_{\theta} L^{-1} T^{-1}_{\theta} \Delta v \\ 0 \end{array} \right\}_{dq0} \end{equation} $$dq0變換與一般複數表示法比較
穩定態的三項平衡電力系統中，一般常會以複數形式描述電壓、電流、電功率等狀態變數。此時，狀態變數在dq0變換下的d軸分量和q軸分量，分別對應到複數形式下它的實部和虛部。這是因為n維的複數線性系統可以等價地以2n維的實數線性系統表達，而dq0變換後微分方程式中出現的\(\Omega\)矩陣，其實就負責處理兩複數實部和虛部相乘時的運算規則。
因此，dq0變換可以視為比一般複數形式更具一般性的表達方式。值得一提的是，也有一種複數形式的dq0變換，其變換規則為
$$ \begin{equation} x_{dq0_{\pm}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & +j & 0 \\ 1 & -j & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] x_{dq0} \end{equation} $$很明顯地，複數版的dq0變換的第一個分量對應到的便是穩定態下的一般複數形式。另外，這個變換有可能會讓微分方程是的矩陣有更對稱或有利運算的結構。事實上，穩定態電力潮流分析中介紹的HELM求解法，其中原始解和嵌入系統額外的鏡像解，分別對應到複數版dq0變換的前兩個分量。
暫態三相不對稱模型
正負零序列模型
電磁物理模型
複雜電路中暫態電力潮流微分方程式及其解
底下我們僅考慮RL電路，雖然RLC電路的方法類似（只是較為複雜）。
複雜直流電路微分方程
解析解推導
現在我們考慮某一線路l之歐姆定律：
$$ \begin{equation} \Delta v_l = L_l \frac{d i_l}{dt} + R_l i_l \end{equation} $$等式兩邊同時乘上積分因子\(\exp\left( \frac{R_l t}{L_l} \right)\)則有
$$ \begin{equation} \exp\left( \frac{R_l t}{L_l} \right) \frac{\Delta v_l}{L_l} = \frac{d}{dt} \left[ \exp\left( \frac{R_l t}{L_l} \right) i_l \right] \end{equation} $$兩邊積分可得
$$ \begin{equation} \frac{1}{L_l} \int^t_0 \exp\left( \frac{R_l \tau}{L_l} \right) \Delta v_l \:d\tau + C = \exp\left( \frac{R_l t}{L_l} \right) i_l \end{equation} $$代入初始條件可得
$$ \begin{equation} i_l = i_l(0) \exp\left( -\frac{R_l t}{L_l} \right) + \frac{1}{L_l} \int^t_0 \exp\left( -\frac{R_l (t - \tau)}{L_l} \right) \Delta v_l \:d\tau \end{equation} $$我們如果按照穩態電力潮流公式的推導方式，將上式代入克西荷夫電流定律，可以得到
$$ \begin{equation} \begin{array}{ccl} \{\Delta i\} &=& [N]^\mathsf{T} \{i_l\} \\ \\ &=& [N]^\mathsf{T} \left[ \exp\left( -\frac{R_l t}{L_l} \right) \right] \{i_l\}(0) \\ \\ &+& \int^t_0 [N]^\mathsf{T} \left[ \exp\left( -\frac{R_l (t - \tau)}{L_l} \right) \right] [N] \{v\} d\tau \end{array} \end{equation} $$數值解近似
前述解析解實務上難以應用。這裡介紹對原微分方程式的數值解近似。首先我們將微分方程離散化成時間間隔為\(\Delta t\)的離散差值方程式：
$$ \begin{equation} \frac{1}{\Delta t} [L_l] (\{i_l\}(t) - \{i_l\}(t - \Delta t)) + [R_l] i_l(t) = [N] \{v\}(t) \end{equation} $$亦即每個時間點上，我們可以有底下的線性系統：
$$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} R_l + \frac{1}{\Delta t} L_l & -N \\ \\ N^\mathsf{T} & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} i_l(t) \\ \\ v(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{L_l}{\Delta t} i_l(t - \Delta t) \\ \\ \Delta i (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} v_{0, l}(t) \\ \\ 0 \end{array} \right] \end{equation} $$或者
$$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} I + L_l^{-1} R_l \Delta t & -L_l^{-1} N \Delta t \\ \\ N^\mathsf{T} & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} i_l(t) \\ \\ v(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} i_l(t - \Delta t) \\ \\ \Delta i (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} L_l^{-1} \Delta t \:v_{0, l}(t) \\ \\ 0 \end{array} \right] \end{equation} $$這樣便可求出數值解。
值得注意的是，上述微分方程離散化容易有數值不穩定的問題，建議使用數值穩定性較好、且收斂區間和解析版微分方程式相近的數值積分方法處理。
考慮並聯電容後的複雜直流電路
如果考慮shunt capacitance，則微分方程的解析解能更單純地呈現。其微分方程為
$$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} L_l & 0 \\ \\ 0 & C \end{array} \right] \frac{d}{dt}\left[ \begin{array}{c} i_l(t) \\ \\ v(t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} R & -N \\ \\ N^\mathsf{T} & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} i_l(t) \\ \\ v(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} v_{0,l}(t) \\ \\ \Delta i(t) \end{array} \right] \end{equation} $$由此可得
$$ \begin{equation} \begin{array}{ccl} \left[ \begin{array}{c} i_l(t) \\ \\ v(t) \end{array} \right] &=& \exp(-[A]t) \left[ \begin{array}{c} i_l(0) \\ \\ v(0) \end{array} \right] \\ \\ &+& \int^t_0 \exp(-[A](t - \tau)) \left[ \begin{array}{c} L_l^{-1} v_{0,l}(\tau) \\ \\ C^{-1} \Delta i(\tau) \end{array} \right] d\tau \end{array} \end{equation} $$其中
$$ \begin{equation} [A] = \left[ \begin{array}{cc} L_l & 0 \\ \\ 0 & C \end{array} \right]^{-1} \left[ \begin{array}{cc} R & -N \\ \\ N^\mathsf{T} & 0 \end{array} \right] \end{equation} $$利用這個線性微分系統，可以推出電壓/電流擾動在線路中傳遞的波動方程式。
補充說明：線性函數捲積公式
假設\(\exp(-[A]t)\)有eigen decomposition
$$ \begin{equation} \exp(-[A]t) = [V] \exp(-[\Lambda]t) [V]^{-1} \end{equation} $$其中\([\Lambda]\)為對角矩陣。
則常微分方程系統
$$ \begin{equation} \frac{d}{dt} \{x\}(t) + [A] \{x\}(t) = \{c\} + t\{m\} \end{equation} $$經拉普拉斯變換可得
$$ \begin{equation} \begin{array}{rcl} \left( s[I] + [A] \right) \{X\}(s) &=& \{x\}(0) + \frac{1}{s} \{c\} + \frac{1}{s^2} \{m\} \\ \\ [V] \left( s[I] + [\Lambda] \right) [V]^{-1} \{X\}(s) &=& [V] [V]^{-1} \left( \{x\}(0) + \frac{1}{s} \{c\} + \frac{1}{s^2} \{m\} \right) \\ \\ \{X'\}(s) &=& \left( s[I] + [\Lambda] \right)^{-1} \{x'\}(0) \\ \\ &+& \left( s[I]\left( s[I] + [\Lambda] \right) \right)^{-1} \{c'\} \\ \\ &+& \left( s^2[I]\left( s[I] + [\Lambda] \right) \right)^{-1} \{m'\} \end{array} \end{equation} $$取拉普拉斯逆變換可得
$$ \begin{equation} \begin{array}{rcl} \{x\}(t) &=& \exp(-[A]t) \{x\}(0) \\ \\ &+& [A]^{-1} \left([I] - \exp(-[A]t) \right) \{c\} \\ \\ &+& \left( [A]^{-1} t - [A]^{-2} + [A]^{-2} \exp(-[A]t) \right) \{m\} \end{array} \end{equation} $$現在，我們考慮每個非參考節點的電功率給定下，求解各非參考節點電壓的電力潮流問題。此時可以參考穩態電力潮流分析中的HELM，考慮底下的嵌入系統：
$$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \\ v(s, t) \end{array} \right] \odot \frac{d}{dt}\left[ \begin{array}{c} i_l(s, t) \\ \\ v(s, t) \end{array} \right] + \left[ A \right] \left[ \begin{array}{c} i_l(s, t) \\ \\ v(s, t) \end{array} \right] = s \left[ \begin{array}{c} L_l^{-1} v_{0,l}(t) \\ \\ C^{-1} P(t) \end{array} \right] \end{equation} $$現在，我們令
$$ \begin{equation} \{i_l\}(s, t) = \sum^{\infty}_0 \{a_j\}(t) s^j \end{equation} $$$$ \begin{equation} \{v\}(s, t) = \sum^{\infty}_0 \{b_j\}(t) s^j \end{equation} $$
則\(j = 0\)時
$$ \begin{equation} \frac{d}{dt}\left[ \begin{array}{c} a_0(t) \\ \\ b_0(t) \end{array} \right] + \left[ A \right] \left[ \begin{array}{c} a_0(t) \\ \\ b_0(t) \end{array} \right] = 0 \end{equation} $$可取初始條件
$$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{c} a_0(0) \\ \\ b_0(0) \end{array} \right] ＝ \left[ \begin{array}{c} i_l(0) \\ \\ v(0) \end{array} \right] \end{equation} $$得解析解。接著當\(j=1\)時我們有
$$ \begin{equation} \begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{c} L_l^{-1} v_{0,l}(t) \\ \\ C^{-1} P(t) \end{array} \right] &=& \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \\ b_0(t) \end{array} \right] \odot \left( \frac{d}{dt}\left[ \begin{array}{c} a_1(t) \\ \\ b_1(t) \end{array} \right] + \left[ A \right] \left[ \begin{array}{c} a_1(t) \\ \\ b_1(t) \end{array} \right] \right) \\ \\ \\ &+& \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \\ b_1(t) \end{array} \right] \odot \left( \frac{d}{dt}\left[ \begin{array}{c} a_0(t) \\ \\ b_0(t) \end{array} \right] + \left[ A \right] \left[ \begin{array}{c} a_0(t) \\ \\ b_0(t) \end{array} \right] \right) \\ \\ \\ &=& \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \\ b_0(t) \end{array} \right] \odot \left( \frac{d}{dt}\left[ \begin{array}{c} a_1(t) \\ \\ b_1(t) \end{array} \right] + \left[ A \right] \left[ \begin{array}{c} a_1(t) \\ \\ b_1(t) \end{array} \right] \right) \end{array} \end{equation} $$依此類推可求出更高的j時的表現形式。然而和穩態HELM不同的是，由於每個係數都是時依函數，這樣的電力潮流微分方程式實務上通常無法用解析解的方式求出，最後仍需要數值解。
複雜交流電路
在複雜電路中，和單一電線不同的是，每個節點交流電壓的相位角會不相同。通常我們會定一電壓源為參考節點，設其相位角為0。如此一來，節點n之交流電壓經dq0變換後會變成
$$ \begin{align} v_{d, n} &= A_n \cos(\theta_n) \\ v_{q, n} &= A_n \sin(\theta_n) \\ v_{0,n} &= B_n \end{align} $$其中\(\theta_n\)是節點n相較於參考節點的相位角差。三相平衡的電路中，\(B=0\)依然成立。
另一種作法乃根據和參考節點的相位角差，給予每個節點電壓和電線電流各自的dq0變換矩陣，使變換後的節點電壓和電線電流的q軸分量恆為零。由於前述的dq0變換矩陣可視為一種基底變換，不論何種矩陣中的角度設定為何數學上皆為等價，但將q軸分量設定為零時，可以更容易區分數值微分徑向變化（d軸方向）和切向變化（q軸方向）的效應。當電網模型有描述切向方向變化率的方程式（比方說同步機器的搖擺方程式、或者逆變器的輸出頻率控制邏輯）時，這樣的變換具有優勢。
延伸閱讀
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一般以電壓量值和相位角做為這兩個自由度。 ↩︎
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事實上，dq0變換可以視為以\((1, 1, 1)\)為旋轉軸進行的正交座標變換。這是因為三相平衡的交流電系統中，\((1, 1, 1)\)的分量恆為零。因此，dq0變換可以由底下方式導出：選定\((1, 1, 1)\)為轉動座標系中的不變基底，而在正交於此向量的平面上，取實際訊號為其中另一基底，剩下的基底則可自然地求出。 ↩︎
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此時轉換矩陣變為
$$ T_{\theta} = \sqrt{\frac{2}{3}} \left[ \begin{array}{ccc} \cos(\theta) & \cos\left( \theta - \frac{2 \pi}{3} \right) & \cos\left( \theta + \frac{2 \pi}{3} \right) \\ -\sin(\theta) & -\sin\left( \theta - \frac{2 \pi}{3} \right) & -\sin\left( \theta + \frac{2 \pi}{3} \right) \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} \end{array} \right] $$ ↩︎ -
如果參考角度沒有時依性（參考座標沒有進行等速圓周運動），則為\(\alpha\beta 0\)變換。 ↩︎