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太陽直接輻射的天文模型

Created Mon, 23 Jun 2025 00:00:00 +0000 Modified Mon, 14 Jul 2025 13:24:44 +0000
Languages 華語
筆者在這篇文章中會介紹太陽對地表直接輻射（direct solar radiation）的天文模型，並附上簡易的模擬結果。
太陽能 轉動座標 天文學 地球科學
6372 Words 3 min

這篇文章的直接輻射模型有底下的假設：

  1. 不考慮大氣吸收與反射的影響。
  2. 不考慮天候條件、周圍環境的影響。雲層和周圍建物會增加遮蔽率，減少實際對地表的直接輻射；不過它們也有可能反射太陽能到地表，造成間接輻射（indirect solar radiation）。

有這兩個假設後，太陽在任何時刻對地表的直接輻射量，僅為太陽天頂角（Solar zenith angle）之函數。下圖以地表座標系統做出的示意圖中，可以看出太陽天頂角是太陽和天頂的夾角；我們現在說明太陽天頂角之求法。注意這張圖是描繪北半球的情況，北邊在右方。


地表座標系統下的太陽天頂角示意圖；O為觀察者、T為天頂、S為太陽投影在天空上的位置、N為正午時太陽的位置、R為天北極。其中角TOS為太陽之天頂角、角TON為正午之太陽天頂角（一天的極小值）。紅色虛直線為平行地球自轉軸的方向、紅色虛曲線為太陽在一天當中的視運動。

太陽天頂角與太陽赤緯、緯度、當地太陽時的關係

首先，考慮如下一個以地球自轉軸為不動軸、地球赤道為參考平面的天球（celestial globe）模型：當某日正午時太陽的天球赤緯（declination）為\(\delta\)、觀察者所在地球緯度（latitude）為\(\phi\)，則可以看出該時刻之太陽天頂角為\(Z_0 = \delta - \phi\)。


赤道座標系統下太陽赤緯、所在緯度和正午太陽天頂角的關係：N與赤道平面E之夾角為太陽赤緯、T與赤道平面E的夾角為觀察者所在之地球緯度。

接下來我們考慮正午以外其他時段太陽的天頂角。回到地表座標系統，我們要讓太陽對著地球自轉軸由東至西任意旋轉一角度1\(h\)，並且試著用\(\delta\)、\(\phi\)和\(h\)描述這樣的旋轉所對應的太陽天頂角。可以看出，\(Z_0\) 和\(h\)其實代表一組尤拉角（Euler angles）：我們先讓與z軸的單位向量\(\hat{k}\)繞y軸旋轉\(Z_0\) ，並將其記為\(\hat{k'}\)；接著，我們再將\(\hat{k'}\)繞地球自轉軸單位方向項量\(\hat{r}\)由東至西旋轉\(h\)，記為\(\hat{n}_{s}\)；\(\hat{n}_{s}\) 便是此時太陽在天球上的位置。

藉由三維旋轉矩陣（rotation matrix），可知

$$ \begin{equation} \{\hat{k'}\} = \left\{ \begin{array}{c} \sin(\delta - \phi) \\ 0 \\ \cos(\delta - \phi) \end{array} \right\} \end{equation} $$

同時地球自轉軸單位方向項量（赤道平面單位法向量）也可以寫成

$$ \begin{equation} \{\hat{r}\} = \left\{ \begin{array}{c} \cos(\phi)\\ 0\\ \sin(\phi) \end{array} \right\} \end{equation} $$

套用三維旋轉的軸角等效表現形式，\(\hat{n}_{s}\)可以寫成

$$ \begin{equation} \begin{array}{ccl} \hat{n}_s &=& \left( \{\hat{k'}\} \cdot \{\hat{r}\} \right) \{\hat{r}\} \\ &+& \cos(h) \left( \{\hat{k'}\} - \left( \{\hat{k'}\} \cdot \{\hat{r}\} \right) \{\hat{r}\} \right) \\ &+& \frac{\left\| \{\hat{k'}\} - \left( \{\hat{k'}\} \cdot \{\hat{r}\} \right) \{\hat{r}\} \right\|}{\left\| \{\hat{k'}\} \times \{\hat{r}\}\right\|} \sin(h) \left( \{\hat{k'}\} \times \{\hat{r}\} \right) \end{array} \end{equation} $$

其中\(\{\hat{k'}\} \cdot \{\hat{r}\} = \sin(\delta - \phi) \cos(\phi) + \cos(\delta - \phi) \sin(\phi) = \sin(\delta - \phi + \phi) = \sin(\delta)\)。因此

$$ \begin{equation} \left(\{\hat{k'}\} \cdot \{\hat{r}\} \right) \{\hat{r}\} = \sin(\delta) \left\{ \begin{array}{c} \cos(\phi)\\ 0\\ \sin(\phi) \end{array} \right\} \end{equation} $$$$ \begin{equation} \{\hat{k'}\} - \left( \{\hat{k'}\} \cdot \{\hat{r}\} \right) \{\hat{r}\} = \cos(\delta) \left\{ \begin{array}{c} -\sin(\phi)\\ 0\\ \cos(\phi) \end{array} \right\} \end{equation} $$

另一方面，\(\{\hat{k'}\} \times \{\hat{r}\}\)可以從底下式子（也可以藉著觀察赤道座標系統中，N與R所構成的和兩單位方向向量的外積）得出：

$$ \begin{equation} \{\hat{k'}\} \times \{\hat{r}\} = \det \left( \left[ \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ \sin(\delta - \phi) & 0 & \cos(\delta - \phi)\\ \cos(\phi) & 0 & \sin(\phi) \end{array} \right] \right) = \cos(\delta) \hat{j} \end{equation} $$

代入上述結果，我們可以求出\(\hat{n}_{s}\)：

$$ \begin{equation} \hat{n}_s = \sin(\delta) \left\{ \begin{array}{c} \cos(\phi)\\ 0\\ \sin(\phi) \end{array} \right\} + \cos(\delta) \cos(h) \left\{ \begin{array}{c} -\sin(\phi)\\ 0\\ \cos(\phi) \end{array} \right\} + \cos(\delta) \sin(h) \hat{j} \end{equation} $$

整理各項後可得

$$ \begin{equation} \hat{n}_s = \left\{ \begin{array}{c} \sin(\delta) \cos(\phi) - \cos(\delta) \sin(\phi) \cos(h)\\ \cos(\delta) \sin(h)\\ \sin(\delta) \sin(\phi) + \cos(\delta) \cos(\phi) \cos(h) \end{array} \right\} \end{equation} $$

此時便可求出太陽天頂角為\(Z = \cos^{-1}\left( \sin(\delta) \sin(\phi) + \cos(\delta) \cos(\phi) \cos(h) \right)\)。

假設一太陽能板法向量的方位角為\(\theta_{PV}\)、天頂角為\(Z_{PV}\)；則此太陽能板的法向量可寫成

$$ \begin{equation} \hat{n}_{PV} = \left\{ \begin{array}{c} \sin(Z_{PV}) \cos(\theta_{PV}) \\ \sin(Z_{PV}) \sin(\theta_{PV}) \\ \cos(Z_{PV}) \end{array} \right\} \end{equation} $$

而入射進入太陽能板的單位面積太陽直接輻射量，為太陽常數（solar constant）乘上\(\hat{n}_s \cdot \hat{n}_{PV}\)。注意當\(\hat{n}_{s}\)的z軸分量為負的時候，代表太陽在地平線底下；而當\(\hat{n}_s \cdot \hat{n}_{PV}\)為負的時候，代表太陽直接輻射入射方向為太陽能板背面。對固定單面式太陽能板來說，以上兩種情況都無法接受到直接輻射，故在本模型中這些時段被視為無法發電。

太陽赤緯與當地太陽時的時依變化

從前面一節的討論當中，我們可以看出特定地球緯度和太陽能板法向量天頂角下，單位面積太陽能板一整年可以得到的直接輻射總量，受太陽赤緯和當地太陽時（local solar time）影響；更具體來說，此一年直接輻射總量為底下之積分式

$$ \begin{equation} E_{Dir} = G_{SC} \int_{t \in \{\mu\}} \hat{n}_s(t) \cdot \hat{n}_{PV} dt \end{equation} $$

其中\(G_{SC}\) 為太陽常數，\(\{\mu\}\)為所關心的一整年當中，\(\hat{n}_s \cdot \hat{n}_{PV}\)和\(\hat{n}_s \cdot \hat{k}\)皆不為負的時段集合（直覺上來說，以上積分式用Lebesgue積分表達會更合適；定義\(\mu(y)=\{t| \hat{n}_s(t) \cdot \hat{n}_{PV} \geq 0 \& \hat{n}_s(t) \cdot \hat{k} \geq 0\}\)，則\(E_{Dir} = G_{SC} \int \hat{n}_s \cdot \hat{n}_{PV} d\mu = G_{SC} \int^{1}_{0} \mu dy\)）。

我們知道，\(\hat{n}_s\)的時依性，受兩變數決定：\(\delta(t)\)和\(h(t)\)。假設地球自轉和公轉角速度在一年的時間尺度中可視為定值，則可以定義當地太陽時\(h(t)= (\Omega_{rot} - \Omega_{rev})t\)，其中\(\Omega_{rot}\)為地球自轉角速度、\(\Omega_{rev}\)為地球公轉角速度。為了簡化公式羅列，我們把\(t=0\)定在某個天文學上自然的時間點上（比如某參考年之春分點），底下亦同。

另一方面，假設在赤道座標系統上，太陽以等速率圓周運動繞行天球，一個簡化的太陽赤緯模型便是

$$ \begin{equation} \delta(t) = \delta_{\max} \sin(\Omega_{rev}t) \end{equation} $$

其中\(\delta_{\max}\)為夏至時的太陽赤緯極大值（約23.4度）。

由於\(\Omega_{rot}\)和\(\Omega_{rev}\)被假設為定值，\(\delta(t)\)和\(h(t)\)皆為單週期正弦函數，如果定義當地太陽日（local solar day）為兩次太陽天頂角極小值之間隔時間，則此假設下一年每個當地太陽日皆相同、當地太陽時也不會因一年四季而有所不同。即便如此，前述的積分式就筆者所知，並沒有一解析解或者專門的特別函數做描述，因此最後仍須利用數值積分的方式求出。

底下是利用這個簡化的天文模型，求出不同緯度下固定太陽能板法向量的天頂角和太陽直接輻射理論最大滿發時數2的關係－紅色為地球緯度25度、藍色為45度、黑色為65度；所有太陽能板的方位角都朝向正南方3。可以看到太陽能板法向量最佳天頂角會略小於其所在地球緯度4，這是因為（以北半球來看）太陽平均天頂角較小的夏天，日照時數也較長，加權平均後太陽能板的最佳仰角也因此較小；在之前一篇討論Code Geass動畫中高仰角太陽能板是否合理的文章中，筆者已有說明。

工程實務上，台灣的固定式太陽能板的法向量天頂角大多落在5至10度之間，遠低於最佳化直接輻射總量的理論最佳值。這是因為仰角越大的太陽能板，承受的風切越大，以防颱作為主要考量的工程中，便會盡可能減低太陽能板的仰角。另一方面，建築法規對於太陽能板高度也有限制5，使屋頂型太陽能板的傾角無法太大。最後，有仰角的太陽能板可能會有互相遮蔽的情況，當太陽能板設置密度較高時，總發電量不一定比平舖來得好。不過，現有的工程經驗是否有改良的空間，以在安全、法規、發電效率上達成更好的平衡，確實是可以考慮的6；比如在漁光共存或者農光共存的案場中，由於太陽能板的配置密度可能有限制，板列彼此間距可能較高，此時仰角增加造成的遮陰問題會較少，因此更應該盡量達到最適仰角，以提高案場經濟效益。

另外，未來直接參與批售電力市場的太陽能電廠，也必須根據一年各月不同時段的預期批售電價，對太陽直接輻射做加權積分；此時太陽能板法向量的最佳方位角就可能略微偏西（以增加下午至黃昏的發電量）、最佳天頂角可能會再降低（假設夏季的批售電價平均而言比冬季高）。自發自用的用戶如果的用電成本有時間電價或即時電價需要考慮，也可以做類似計算。

太陽赤緯與當地太陽時時依變化的高次項建模

由於間接輻射和天候條件對太陽能發電量的影響，量級上和直接輻射相當，因此處理完直接輻射總量的低次項後，理論上應該優先對間接輻射和天候條件建模；這些因素就很依個案所在位置，有很大差異。比方說，可能要根據太陽能板所在位置的鄰近建物，模擬各方位的遮蔽率和散射率；另外一般而言，緯度較高、成雲機率較高7的氣候條件，間接輻射在總接收輻射的佔比會更高。


不同緯度直接輻射（S）、間接輻射（D）與總接收輻射（K）之變化。

這裡假設間接輻射和天候條件的影響已經建模完畢，接下來欲處理直接輻射總量的高次項時，應該考慮的項目有哪些。

直接輻射總量的高次項，主要來自太陽在赤道座標系統上的赤經改變速度並不均勻所導致的。這樣的不均勻主要來自兩個原因：

  1. 地球公轉角速度本身有快有慢：在近日點時，地球公轉角速度最大，遠日點時最小，這會影響太陽視運動的角速度。
  2. 太陽公轉視運動在赤道平面的投影：前述地球公轉，造成太陽在黃道平面（Ecliptic）上的公轉視運動。然而只有投影在赤道平面上的太陽視運動，才會影響太陽時和太陽日的長短；剩下的視運動分量，則會改變太陽赤緯。

地球公轉角速度變化

我們先來看第一個因素的影響，根據克卜勒天體運動第二定律（亦或是角動量守恆），\(\rho^2 \Omega_{rev}\)應該為定值（\(\rho\)為日地距離）。因此太陽在黃道上的公轉視運動角速度為

$$ \begin{equation} \Omega_{rev}(t) = \frac{K_{rev}}{\left( \rho(\lambda(t)) \right)^2} \end{equation} $$

其中\(K_{rev}\)為一軌道運轉常數、\(\lambda(t)\)為黃道座標系統下的太陽黃經：

$$ \begin{equation} \lambda(t) = \int^{t}_{0} \Omega_{rev}(\tau) d\tau \end{equation} $$

一個關鍵的參數為\(\rho\)隨著太陽黃經的變化；根據克卜勒天體運動第一定律，地球公轉軌道為一橢圓、太陽在其中一焦點上。利用極座標下橢圓表示法可得知：

$$ \begin{equation} \rho(\lambda) = \frac{\rho_1 (1 - e^2)}{1-e \cos(\lambda - \lambda_1)} \end{equation} $$

其中\(\rho_1\)為地球公轉軌道之長軸半徑（約\(1.4960 \times 10^{11}\) 公尺）、\(e\)為地球公轉軌道之離心率（約0.0167）、\(\lambda_1\)為遠日點發生時（約7月初）的太陽黃經。

將這些結果代入，我們會得到底下之一階常微分方程式：

$$ \begin{equation} \frac{d t}{d \lambda} = \frac{{\rho_1}^2 (1 - e^2)^2}{K_{rev}} \frac{1}{(1-e \cos(\lambda - \lambda_1))^2} \end{equation} $$

解此方程式會得到底下之結果

$$ \begin{equation} t_f - t_i = \frac{{\rho_1}^2 (1 - e^2)^2}{K_{rev}} \int^{\lambda_f}_{\lambda_i} \frac{d \lambda}{(1-e \cos(\lambda - \lambda_1))^2} \end{equation} $$

當設\(t_i = 0\)、\(t_f = T_{rev}\)（太陽年，取兩春分點之歷時，約365.2422天）時，對應到的\(\lambda_i = 0\)、\(\lambda_f = 2 \pi\)，可藉而求出\(K_{rev}\)。很遺憾地就筆者所知上述積分式沒有解析解，應該也需要數值積分才能求出\(\lambda\)與\(t\)的關係式；詳請參見 均時差方程式計算方式與程式碼。

以赤道座標系統描述太陽公轉視運動

我們接著來看第二個因素的影響。定義黃道座標系統下太陽的單位方向向量\(\hat{n}_{ec}\)為

$$ \begin{equation} \hat{n}_{ec} = \left\{ \begin{array}{c} \cos(\beta) \cos(\lambda) \\ \cos(\beta) \sin(\lambda) \\ \sin(\beta) \end{array} \right\} \end{equation} $$

其中\(\beta\)為太陽黃緯；根據黃道面的定義，可知\(\beta= 0\)。另一方面，定義赤道座標系統下太陽的單位方向向量\(\hat{n}_{eq}\)為

$$ \begin{equation} \hat{n}_{eq} = \left\{ \begin{array}{c} \cos(\delta) \cos(\alpha) \\ \cos(\delta) \sin(\alpha) \\ \sin(\delta) \end{array} \right\} \end{equation} $$

其中\(\alpha\)為太陽赤經、\(\delta\)為太陽赤緯。將黃道座標系統下太陽的單位方向向量\(\hat{n}_{ec}\)繞著x軸8旋轉黃赤交角\(\delta_{max}\)，便可得到赤道座標系統下太陽的單位方向向量\(\hat{n}_{eq}\)。利用三維旋轉矩陣我們可以據而寫出兩者之關係：

$$ \begin{equation} \hat{n}_{eq} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\delta_{max}) & -\sin(\delta_{max}) \\ 0 & \sin(\delta_{max}) & \cos(\delta_{max}) \end{array} \right] \hat{n}_{ec} \end{equation} $$

在本例中，上式可被簡化成

$$ \begin{equation} \hat{n}_{eq} = \left\{ \begin{array}{c} \cos(\lambda) \\ \cos(\delta_{max}) \sin(\lambda) \\ \sin(\delta_{max}) \sin(\lambda) \end{array} \right\} \end{equation} $$

因此，已知\(\lambda(t)\)的前提下，可以反推\(\delta(t) = \sin^{-1}(\sin(\delta_{max}) \sin(\lambda))\)和\(\alpha(t) = \tan^{-1}(\cos(\delta_{max}) \tan(\lambda))\)；而當地太陽時則會滿足底下的一階常微分方程式：

$$ \begin{equation} \dot{h}(t)= \Omega_{rot} - \dot{\alpha} = \Omega_{rot} - \frac{\cos(\delta_{max}) (1 + \tan^2(\lambda))}{1 + \cos^2(\delta_{max}) \tan^2(\lambda)} \dot{\lambda} \end{equation} $$

代入太陽黃經角速度的公式並化簡後可得

$$ \begin{equation} \dot{h}(t) = \Omega_{rot} - \frac{K_{rev} \cos(\delta_{max})}{{\rho_1}^2 (1 - e^2)^2}\frac{(1-e \cos(\lambda - \lambda_1))^2 (1 + \tan^2(\lambda))}{1 + \cos^2(\delta_{max}) \tan^2(\lambda)} \end{equation} $$

其中\(\Omega_{rot}\)為地球自轉之角速度，假設為定值。也就是說，當地太陽時的長短，受到太陽赤經的變化速率決定：太陽赤經變化率較快的近日點或夏冬至，太陽時會變慢、太陽日變長；太陽赤經變化率較慢的遠日點或春秋分，太陽時會變快、太陽日變短9。當我們根據一年當中的每個太陽日長度做平均，求出當地平均太陽時（local mean solar time），便可以從當地太陽時和當地平均太陽時的差，求出均時差方程式（equation of time）。該方程式的數值計算方法，詳請參見均時差方程式計算方式與程式碼。


均時差方程式。一支手錶顯示的時間代表當地平均太陽時，則當當地太陽時較快的時候，手錶會相對較慢；當地太陽時較慢的時候，手錶會相對較快。取自維基百科頁面Equation of time。


均時差方程式另一種表現方式：以平均太陽時為基準，負值為太陽時比平均太陽時慢的時段、正值為太陽時比平均太陽時快的時段。

  1. 這個角度和當地太陽時（local solar time）有關，詳細在下一節會討論。 ↩︎

  2. 這是借用再生能源發電量計算方式的概念，為一年接收到的直接輻射總量除以太陽常數；舉例來說，假設大氣層外有一永遠對著太陽的太陽能板，則其接收到的直接輻射滿發時數為8760小時。 ↩︎

  3. 這是最佳化總發電量時，最佳的方位角（因為每日正午時太陽直接輻射最大，而此時太陽恰在正南方）。 ↩︎

  4. 這個模型估計出地球緯度25度的朝南太陽能板最佳天頂角為23.6度、地球緯度45度的朝南太陽能板最佳天頂角則為42度、地球緯度65度的朝南太陽能板最佳天頂角則為57.4度。 ↩︎

  5. 《設置再生能源設施免請領雜項執照標準》中規定「設置於建築物屋頂或露臺，包含支撐架並得結合新設頂蓋，其高度自屋頂面或露臺面起算四點五公尺以下」之太陽能發電系統，得免依建築法規定申請雜項執照。亦即，太陽能系統承包商在現地設計時，會避免超過這個高度。因此，沿著垂直太陽能板法向量的平面連續鋪設太陽能板的做法，不適用規模較大的案場；這代表太陽能板仰角較大時，可能產生彼此遮蔽的問題。 ↩︎

  6. 地球緯度為25度時、向南太陽能板法向量天頂角為5度時，和理論最佳直接輻射總量差距大約5.4%。 ↩︎

  7. 緯度較高的地區，平均來說太陽天頂角也會比較高，而太陽的天頂角較高時，穿透大氣的光學路徑（optical path）較長，故直接輻射被大氣散射或吸收的機會較大，間接輻射的比例也因此較高，詳情可參考「大氣質量」（air mass）之概念；另一方面，雲層則會遮蔽、吸收、或散射直接輻射，這也會讓間接輻射的比例增加。 ↩︎

  8. 這樣做能確保黃經為0度時，赤經亦為0度（春分點）。 ↩︎

  9. 夏冬至的太陽時比春秋分慢的原因是，夏冬至時太陽公轉視運動的速度分量平行於赤道平面，因此太陽赤經的變化率會較快。 ↩︎

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